以2019年全国卷Ⅰ文科第16题为例谈数学研究性(2)

定理证明：如图6 所示，过点O作OB⊥AB于点B，过点B作BC⊥AC于点C，连接OC，由题意得△ABC，△AOC，△ABO都是直角三角形.因为cos∠OAB=cos∠BAC·cos∠OAB.

图6

评注：解法2 涉及最小角定理，最小角定理也称三余弦定理，在解决立体几何二面角问题中有着重要的作用.

推广2：三正弦定理

设二面角M-AB-N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，AC与棱AB所成角为β，与平面N所成角为γ，则有sinα=sinβ·sinγ.

图7

定理证明：如图7 所示，过点C作CO垂直于平面N于点O，过点O作直线OB垂直于二面角棱于点B，连接OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形.因为sinα=sin∠CBO=，sinβ=sin∠BAC=，sinγ=sin∠CAO=，所 以sinα=sinβ·sinγ.

评注：观察图1发现，将点E与点F放在同一条直线上，将其与点O连线的夹角改变度数，自然就看到了三正弦定理的影子，将三余弦定理与三正弦定理联立求解立体几何中与角有关的部分试题，在不用作辅助线的情况下就可以对问题进行求解，十分的方便快捷.

推广3：等和线

平面内有一组基底，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k（定值），反之也成立.

变式1：四边形OABC是边长为1 的正方形，点D在OA的延长线上，且AD=2，点P是△BCD（含边界）的动点，设，则λ+μ的最大值为________.

变式2：设长方形ABCD的边长分别是AD=1，AB=2，点P是△BCD（含边界）的动点，设AP=，则λ+2μ的最大值为_________.

评注：在分析解法5的过程中发现，将点P投影到平面的点O与A、B两点位于同一直线上，发现恰好有：，所以联想到等和线中λ+μ=1这一情况.运用等和线求解高考题，亦有事半功倍的效果.

推广4：外接球（墙角模型）

如图8所示，设CF=a，CE=b，OP=c；四棱锥P-CEOF外接球的半径为R，则有(2R)2=a2+b2+c2成立，所以必定有R=成立.

图8

变式1：点P、A、B、C均在同一球面上，其中线段PA、PB、PC两两之间相互垂直，且PA=PB=PC=a，则球的表面积为________.

变式2：已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则三棱锥外接球的表面积为________.

评注：在解法3 中，利用外接球知识将P到平面ABC的距离求解出来，本质就是外接球的“墙角模型”中对角线的求解，在3 条不相等的棱与体对角线（球直径）构建等式，知三求一，可以快速解决求解外接球体积和表面积一类的高考题.

四、应用结论

应用1：（2019 年浙江卷第8 题）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）.直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC成的角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则________.

A.β＜γ,α＜γB.β＜α,β＜γ

C.β＜α,γ＜αD.α＜β,γ＜β

解析：如图9 所示，由最小角定理可知α＞β.由于tanβ=，tanγ=，且BE＞EF，则tanβ＜tanγ，所以β＜γ，故选择B.

图9

应用2：（2018 年浙江卷第8 题）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则_____.

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

解析：如图10所示，作SO⊥平面ABCD于点O，过点O作AB边的垂线交AB于点F，点E为AB边上的点，连接SE与OE.

由题意可知∠EOF=θ1，∠SEO=θ2，∠SFO=θ3，根据二面角最小角原理可知θ2＜θ1，由最大值原理可知θ2＜θ3，所以选择D选项.

应 用3：已 知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，点P为斜边AB上的一点，现沿PC将此直角三角形折成二面角A-PC-B，当AC=时，求二面角P-AC-B的正弦值.

图10

图11

解析：如图11 所示，在△ABC中，AB=，AC=2，BC=3，所 以cos∠ACB=，则∠ACB=60°.又因为线段PB与线段PC是线段AB与线段AC在平面PBC上的投影，所以由三余弦定理可知cos∠ACB=cos∠ACP·cos∠PCB，令二面角P-AC-B为sinα，由三正弦定理可知sin∠DCB=sin∠ACB·sinα，所以sinα=，则二面角P-AC-B的正弦值为

应用4：（2017 年全国卷Ⅲ理科第12 题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则λ+μ的最大值为_______.

图12

解析：根据题意建立如图12 所示的平面直角坐标系，运用等面积法得到以点C为圆心的圆的方程为(x-2)2+y2=.当B，D，E三点共线时，由等和线关系可知点E为动点P在圆C上λ+μ的最小值点，点F所在位置为动点P在圆C上λ+μ的最大值点，即直线l平行于线段BD，所以λ+μ的最小值为1，最大值为3.

文章来源：《文科爱好者(教育教学)》 网址: http://www.wkahzzzs.cn/qikandaodu/2020/0709/356.html