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以年全国卷文科第题为例谈数学研究性学习

来源:文科爱好者(教育教学) 【在线投稿】 栏目:期刊导读 时间:2021-03-21
作者:网站采编
关键词:
摘要:数学研究性学习是指学生围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程.这个过程包括:观察、分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明

数学研究性学习是指学生围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程.这个过程包括:观察、分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明.研究性学习是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程,初步理解直观和严谨的关系,体验创造的激情,树立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,培养学生发现、提出和解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力.研究性学习的一般步骤是:提出问题(起点);解决问题(重点);推广问题(难点);应用结论(升华点).笔者将以2019年全国卷Ⅰ文科第16题为例对数学研究性学习进行说明.

一、提出问题

数学家波利亚指出,问题是数学的心脏.对于数学学科而言,在研究性学习时提出问题主要是指对某些数学问题的深入探讨.所提问题不能过偏过难,要是学生通过努力可以解决的.研究性学习问题要满足以下五个课题选取的原则:

1.问题题材选取的典型性;

2.问题开展研究的可行性;

3.问题解决路径的多样性;

4.问题拓展方向的多向性;

5.问题研究成果的应用性.

二、解决问题

[试题]已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为______.

分析:如图1所示,设点P在平面ABC上的投影为点O,作PE,PF分别垂直于CA,CB,连接OC,OE,OF.由题意可知PE=PF=,PC=2.对问题中的点P进行平面上的投影,转化成平面几何或是空间几何问题求解,可以较方便地对问题进行求解和变式推广探究.

图1

解法1:如图1 所示,由题意可知PE=PF=,PC=2;由于PE与PF为点P到∠ACB两边AC,BC的距离,易得CE=CF=1,则CO=,点P到平面ABC的距离为线段PO的长度,即P到平面ABC的距离为.

解法2:如图1 所示,由题意可知PE=PF=,PC=2.则∠CEP=∠CFP=60°,则OE=OF=1,且∠ACB=90°,则四边形AOBC为正方形,CO为其对角线,则∠OCA=∠OCB=45°.由“最小角定理”可知cos∠ACP=cos∠ACO·cos∠PCO,则∠PCO=45°.所以P到平面ABC的距离为.

图2

解法3:如图1 所示,由于点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,点P在平面ABC上的投影点O在∠ACB的角平分线上,由于∠ACB=90°,则四边形AOBC为正方形,所以四棱锥P-AOBC为直四棱锥,如图2 所示.作直四棱锥P-AOBC的外接球,则线段PC为外接球直径,点O为外接球表面上的点,且PE=PF=,则弦PO=,所以P到平面ABC的距离为.

解法4:设点P在平面ABC上的投影为点O,作PE,PF分别垂直于CA,CB.连接OC,OE,OF.以OF为x轴,EO为y轴,OP为z轴建立如图3 所示的空间直角坐标系.设P点坐标为(0,0,z),由题意可知PE=PF=,PC=2,易得CE=CF=1,所以点C,E,F的坐标分别为(1,-1,0),(0,-1,0),(1,0,0).根据两点间的距离公式得P(0,0,).则PO=z=,所以P到平面ABC的距离为.

图3

解法5:如图4,设点P在平面ABC上的投影为点O,作PE,PF分别垂直于CA,CB.连接OC,OE,OF,EF.过点O作EF的平行线AB.因为PE=PF=,PC=2,所 以CE=CF=1.易 得△EPF,△APB,△ACB均为等腰三角形,由于∠ACB=90°,所以易得AE=EC=CF=BF=1,AB=2,∠PCB=∠PCA=60°,则△PCA与△PCB为等边三角形,所以PA=PB=2,则PO=.故P到平面ABC的距离为

图4

图5

解法6:如图5 所示,设点P在平面ABC上的投影为点O,作PE,PF分别垂直于CA,CB.连接OC,OE,OF,过点F作CO的垂线段HF.由题意可知PE=PF=,PC=2,则∠CEP=∠CFP=60°,则OE=OF=1,且∠ACB=90°,则四边形AOBC为正方形,四棱锥P-AOBC为直四棱锥,所以VP-AOBC=2VF-PCO,其 中CO=2,∠PCO=45°,即PO·OE·OF=2×,所 以PO=.故P到平面ABC的距离为

评注:在立体几何问题中,运用投影、等体积,建立空间直角坐标系等方法是解决问题的常用方法.找准问题的本质以及所要求的量,利用已知条件建立等量关系可以有效地解决问题.解法1 通过已知边的长度以及各线段所处的位置,运用“勾股定理”“三角函数”以及“正弦定理”等将其之间的关系等式化,求出P到平面ABC的距离就相对轻松.

三、推广问题

推广1:三余弦定理

设A为面上一点,过A的直线AO在面上的射影为AB,AC为面上的一条直线,则∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的关系为:cos∠OAC=cos∠BAC× cos∠OAB(其中∠BAC与∠OAB皆是锐角).

文章来源:《文科爱好者(教育教学)》 网址: http://www.wkahzzzs.cn/qikandaodu/2021/0321/782.html



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